#SL2(Z)

Action de $SL_2(\mathbb{Z})$ sur le disque unité

sur une suggestion de Jacques Sauloy

Commandes En survolant un point on peut voir l'élément de $SL_2(\mathbb{Z})$ qui lui correspond.
En cliquant sur un point on centre l'écran sur son cadran..
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Explications
  • Le groupe $SL_2(\mathbb{Z}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ~|~ a,b,c,d \in \mathbb{Z} \text{ et } ad - bc = 1\right\}$ agit par homographie sur le demi-plan de Poincaré $\mathbb{H} = \{ z \in \mathbb{C} ~|~ Im(z) > 0 \}$. C'est-à-dire en posant : $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \bullet z = \frac{a z + b}{c z + d} = \frac{ac|z|^2 + (ad+bc)Re(z) + bd + i Im(z)}{|cz+d|^2} $$
  • Les seuls éléments agissant trivialement (c'est-a-dire fixant tout $\mathbb{H}$) sont $\{I_2, -I_2\}$ qui est le centre de $SL_2(\mathbb{Z})$. On peut donc considèrer l'action de $PSL_2(\mathbb{Z}) = SL_2(\mathbb{Z}) / \{ I_2, -I_2 \}$ qui est alors fidèle. Cette action est presque libre dans le sens où les trois seuls éléments à avoir un stabilisateur non trivial sont: $i, e^{i\pi/3}, e^{2i\pi/3}$.
  • Si on pose $D = \{ z \in \mathbb{H} ~|~ Im(z) \ge 1 \text{ et } - \frac{1}{2} \le Re(z) \le \frac{1}{2} \}$, alors $\forall z \in \mathbb{H}, Orb(z) \cap D \neq \emptyset$, i.e. toute orbite a un représentant dans $D$, on dit que $D$ est un domaine fondamental de l'action.
  • Si on considère les images $A \bullet D = \{ A \bullet z ~|~ z \in D\}$ où $A \in SL_2(\mathbb{Z})$, on retrouve tout $\mathbb{H}$ et ces images ne se rencontrent que sur leur frontière : c'est exactement la même situation que dans un pavage.
  • Cette notion de pavage est renforcée par le fait qu'en munissant $\mathbb{H}$ de la métrique hyperbolique, les éléments de $SL_2(\mathbb{Z})$ sont des isométries.
  • Cette page représente cette action graphiquement en attribuant à chaque région du plan de la forme $A \bullet D$, un élément $A \in SL_2(\mathbb{Z})$. $SL_2(\mathbb{Z})$ étant engendré par $S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, on exprime $A$ comme une expression en $S$ et $T$.
  • $
  • L'algorithme utilisé pour passer d'un point $z \in \mathbb{H}$ à $A$ procède par des règles de réecriture :
    • Si $|z| < 1$, $z \xrightarrow{S} -\frac{1}{z}$
    • Si $Re(z) > \frac{1}{2}$, $z \xrightarrow{T} z-1$
    • Si $Re(z) < -\frac{1}{2}$, $z \xrightarrow{T^{-1}} z+1$
    • Si $z \in D$, on s'arrête.
    Par exemple $z = 1 + \frac{i}{2} \xrightarrow{T} \frac{i}{2} \xrightarrow{S} 2i \in D$ et ici on a donc $z \in TS \bullet D$
    La correction de cet algorithme est claire, mais sa terminaison l'est moins. On peut remarquer qu'à chaque application des règles 2 et 3, $[|Re(z)|]$ diminue strictement de 1. Pour la première règle, il faut d'abord remarquer que $Im(A \bullet z) = \frac{Im(z)}{|c z + d|^2}$ donc $Im(A \bullet z) > Im(z) \iff |cz + d|^2 < 1$ or, cette inéquation n'a qu'un nombre fini de solutions entières $(c,d)\in \mathbb{Z}^2$. Or, si $|z| < 1$, $Im(S \bullet z) > Im(z)$ et on ne peut donc appliquer qu'un nombre fini de fois la règle 1 dans la mesure où les règles 2 et 3 preservent $Im(z)$.
  • Une injection de $\mathbb{H}$ dans le disque unité permet de visualiser cette action globalement.